2.4. Теоретические основы темы «Сущность средних величин, их виды и методы расчета»
Средняя – обобщающая числовая характеристика изучаемого количественного признака по всем единицам статистической совокупности. В средних погашаются индивидуальные различия единиц совокупности. Они позволяют сравнивать различные совокупности по какому-то признаку, например, разные предприятия по уровню средней оплаты труда, средней рентабельности, тoвapы разных поставщиков – по средней цене.
В статистике применяются степенные и структурные средние.
К степенным средним относятся следующие виды: арифметическая, гармоническая, хронологическая, квадратическая, геометрическая. Выбор вида степенной средней зависит от содержания логической формулы расчета осредняемого признака и имеющихся исходных данных, на основании которых производится расчет. Наиболее распространена средняя арифметическая.
Структурные средние представлены модой и медианой.
Средняя имеет те же единицы измерения, что и варианты х. Если осредняются относительные величины, то средняя представляется коэффициентом (%, ‰).
Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (x) и количество единиц совокупности с определенным значением признака (f).
Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной. Средняя арифметическая простая используется, если каждое значение признака x встречается один раз, т.е. для каждого x значение признака f = 1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определенные значения признака.
Формула средней арифметической простой имеет вид:
 =  ,
где x – значение осредняемого признака (варианта); n – число единиц изучаемой совокупности.
Средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого х значение признака f  1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:
=  ,
где х – значение осредняемого признака; f – вес значения признака (частота, если f – число единиц совокупности; частость, если f – доля единиц с вариантой х в общем объеме совокупности).
Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то методика расчета средней включает следующие шаги:
1) закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;
2) за значения осредняемого признака x берут середины интервалов;
3)расчет средней производят по средней арифметической взвешенной.
Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака x и объем осредняемого признака w = xf для каждого значения х, то для расчета средней применяется гармоническая взвешенная:
=  ,
где x – значение осредняемого признака x (варианта); w – вес варианты x, объем осредняемого признака.
Если осредняется заработная плата рабочих цеха, а f – число рабочих, то w = xf – фонд заработной платы цеха. При исчислении средней цены товара объемом осредняемого признака w выступает стоимость проданных товаров, рассчитываемая как произведение цены единицы товара на количество единиц (объем продаж). Объемом осредняемого признака «урожайность» является валовой сбор сельскохозяйственных культур со всей площади: w = xf, где x – урожайность отдельных культур, ц/га; f – посевная площадь, га.
Средняя гармоническая, так же как и арифметическая, может быть не только взвешенной, но и простой (невзвешенной):
=  ,
где x – значения осредняемого признака; n – число значений x.
На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения w для единиц совокупности равны.
Иногда по исходным данным трудно определить, чем являются показатели – численностью единиц совокупности (f) или объемом осредняемого признака (w). В этом случае необходимо:
1) записать логическую формулу расчета осредняемого признака исходя из его экономического содержания;
2) выбрать для расчета среднюю арифметическую взвешенную, если известен знаменатель логической формулы;
3) использовать среднюю гармоническую взвешенную, если в исходных данных имеется числитель логической формулы исчисления осредняемого признака.
Средняя квадратическая применяется при расчете одного из показателей варьируемости признака х – среднего квадратического отклонения. Она бывает простой и взвешенной. Простая используется, если каждое значение признака x встречается один раз, в общем виде имеет вид:
 =  ,
где x2 – квадрат значений осредняемого признака; n – число единиц совокупности.
Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака x встречается f раз:
= ,
где f – вес варианты x.
Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстоящих дат внутри определенного временного периода, расчет производится по средней хронологической:
=  ,
где x1, x2, ... xn – 1, xn – значения осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения x.
По формуле средней хронологической исчисляется средняя годовая стоимость основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний запас материальных ценностей, если известны величины запасов на определенные даты, разделенные равными интервалами; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало каждого месяца.
Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчета применяют среднюю геометрическую:
 = 
Средняя геометрическая применяется для исчисления среднего темпа роста, многих биржевых индексов, отражающих динамику средней цены по определенной совокупности ценных бумаг.
Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности; ими являются мода и медиана. В отличие от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной из вариант.
Мода применяется для характеристики наиболее часто встречающегося значения признака: наиболее распространенного уровня заработной платы на предприятии, цены на товар с наибольшим объемом продаж, размера одежды, пользующегося наибольшим спросом. Мода – варианта с наибольшей частотой.
Медиана используется для нахождения того значения признака, которого достигла половина единиц статистической совокупности: половина работников предприятия получает такую-то заработную плату и выше; половина товарного ассортимента имеет такую-то цену и выше; половина населения носит одежду такого-то размера и больше. Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд пополам.
Если исходные данные представлены дискретным рядом распределения, модой Mо является варианта с наибольшей частотой fmax. Могут быть распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, т.е. моды нет или все варианты одинаково модальны. Если две варианты имеют наибольшие частоты, то две моды свидетельствуют о бимодальном распределении. Часто бимодальные распределения указывают на качественную неоднородность совокупности по исследуемому признаку.
Номер варианты, являющейся медианой, в дискретном ряду распределения определяется делением суммы частот пополам ( : 2). При нечетном числе единиц совокупности номер медианы равен (: 2 + 0,5).
В интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:
Mо =  +   ,
где – нижняя граница модального интервала; – ширина модального интервала;  – частота модального интервала;  – частота интервала, предшествующего модальному; fмо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Формула расчета медианы Me в интервальном ряду распределения имеет вид:
Me = xMe + hMe  ,
где xMe – нижняя граница медианного интервала; hMe – ширина медианного интервала;  f – число единиц совокупности; fMe – 1 – накопленная частота до медианного интервала; fMe – частота медианного интервала.
2.5. Теоретические основы темы «Сущность и методы расчета показателей вариации»
Среднее значение изучаемого признака может служить обобщающей характеристикой исследуемой статистической совокупности, если к нему приближаются большинство фактических значений.
Для характеристики надежности средней используют показатели вариации, отражающие отклонение исходных вариант x от их среднего значения . Показатели вариации представлены размахом вариации, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации.
Размах вариации Rв – разность между наибольшим и наименьшим значением осредняемого признака:
Rв = xmax – xmin,
где xmax, xmin – соответственно, максимальное и минимальное значение варианты x. Чем больше размах вариации, тем вероятнее то, что средняя окажется нетипичной.
Среднее квадратическое отклонение  показывает, на сколько в среднем фактические значения вариант x отклоняются в ту и другую сторону от исчисленной средней:
=  ,
где  – дисперсия осредняемого признака, характеризующая колеблемость вариант около средней.
Дисперсия исчисляется по формулам:
=  (каждое f 1);
=  (каждое f = 1).
В отличие от среднего квадратического отклонения , имеющего ту же единицу измерения, что и варианты x, дисперсия не имеет единицы измерения. В статистике она выступает только базой для расчета .
Дисперсия может быть также рассчитана как разность средней квадратов вариант и квадрата средней вариант:
=  ;
 =  – средняя квадратов вариант;
 = – квадрат средней вариант.
Отношение среднего квадратического отклонения к средней называется коэффициентом вариации V. Коэффициент вариации – относительная величина, выражаемая в процентах:
V =  ∙ 100 (%).
Средняя считается типичной и может служить обобщающей характеристикой совокупности единиц, если V ≤ 33%. Коэффициент вариации применяется не только для оценки надежности средней, но и для сравнения вариации, изменчивости, колеблемости изучаемого признака различных совокупностей и явлений. Например, с помощью V можно выяснить, что варьируется больше: рост или вес населения, рост женщин или мужчин.
При значениях V > 33% следует разбить исходную статистическую совокупность на две или более новых совокупностей с меньшей вариацией осредняемого признака, для каждой группы единиц исчислить свою среднюю и проверить ее типичность. При перегруппировке можно образовать группы с единицами, значение изучаемого признака которых меньше расчетной средней и больше (равно) среднему показателю.
2.6. Методические указания по выполнению задания
Группировка – метод систематизации исходных данных наряду с табличным методом, применяемый на второй стадии статистического исследования – сводки данных. Группировка позволяет распределить статистическую совокупность на группы по признакам сходства или различия. Одним из важнейших этапов группировки является выбор группировочного признака, потому что от этого зависят результаты сводки и группировки в целом. Выбор признаков в каждом конкретном случае должен основываться на экономической сущности изучаемого явления, на основе тщательного анализа.
Объединение в группы сходных между собой единиц помогает выявить такие их черты и особенности, которые при изучении отдельно взятой единицы могли бы остаться незамеченными. Научное исследование массовых социально-экономических явлений невозможно без разграничения групп, существенно различающихся между собой, и объединения в группы существенно сходных единиц.
Группировка является центральным моментом любой статистической сводки, позволяет выявить наиболее существенные черты и признаки изучаемых явлений и служит основой научного применения аналитических методов статистики – относительных и средних величин, показателей вариации, индексов. С помощью абсолютных, относительных, средних величин или индексов можно правильно характеризовать только однородные, однотипные группы явлений, выделенные в состав изучаемой совокупности методом группировок.
Различия (вариация) индивидуальных значений признака у единиц совокупности возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под совместным влиянием разнообразных условий (факторов), по-разному сочетающихся в каждом отдельном случае. Изучение вариации в пределах однородной группы предполагает использование следующих приемов: построение вариационного ряда распределения, его графическое изображение, исчисление основных характеристик распределения: степенной и структурных средних, показателей вариации.
Средняя величина – наиболее распространенная обобщенная характеристика качественно однородных явлений и процессов по какому-либо варьирующему признаку. Через единичное и случайное средняя выявляет общее и крайне важное, т.е. тенденции и закономерности в развитии массовых явлений. Начиная с XVII века, когда английский экономист В. Петти разработал методы количественного анализа экономики, населения, финансов, средние величины рассматриваются в качестве важнейшего приема статистического анализа.
Средняя величина дает обобщающую характеристику изучаемой совокупности, но не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Поэтому для характеристики колебания признака используют показатели вариации.
Структурные средние (мода и медиана) в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Значение структурных средних позволяет оценить вид ряда распределения: нормальное распределение ряда, левосторонняя асимметрия, правосторонняя асимметрия.
При нормальном распределении средняя арифметическая, мода и медиана будут равны между собой. Форма нормальной кривой имеет вид одновершинной симметричной кривой, ветки которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. В симметричном ряду частоты вариант, равноотстоящих влево и вправо от средней, равны между собой, т.е. средняя, мода и медиана имеют одинаковое значение. В рядах с правосторонней симметрией значение средней больше медианы, а медиана больше моды. В рядах с левосторонней симметрией обратное соотношение: средняя меньше медианы, а медиана меньше моды.
Прежде чем выполнять задание необходимо изучить цели работы, повторить уже пройденный материал, изучить новый теоретический материал и ответить на ряд вопросов:
как научно организовать сбор данных, какие организационные формы сбора и регистрации исходных для исследования данных предлагает статистическая наука?
какие требования предъявляются к исходным данным? Как научно провести сбор данных или их поиск?
какие данные можно найти на официальных сайтах ФСГС и исполнительных органов власти?
как научно организовать систематизацию исходного материала?
какие виды группировок в зависимости от цели исследования можно использовать?
чем отличаются друг от друга группировки, классификации и классификаторы?
каковы правила образования групп?
как правильно оформить таблицу?
какие группировки можно представить в виде ряда распределения?
какие параметры характеризуют ряд распределения?
какие существуют виды рядов распределения?
какие обобщающие показатели рассчитываются на основании рядов распределения?
как графически отобразить ряд распределения?
в чем сущность средней величины как обобщающей характеристики исследуемой совокупности, как читать исчисленные средние показатели?
какова область применения средних величин?
какие виды средних величин используются в финансовых и экономических исследованиях? Как они исчисляются?
от чего зависит выбор вида средней и способа ее расчета? Какова область применения средних величин?
как определить, может ли исчисленная средняя величина служить обобщающей характеристикой исследуемой совокупности.
как рассчитать среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации, в чем содержание данных показателей вариации?
каковы критерии отнесения расчетных средних величин к типичным характеристикам исследуемой совокупности?
каков алгоритм перехода от нетипичных средних к типичным?
чем структурные средние отличаются от степенных средних, каковы методы расчета моды и медианы, в чем их содержание?
как дать обобщающую характеристику выборочной совокупности?
Знание ответов на эти вопросы весьма важно, поскольку от качества исходных данных и их систематизации зависит научная обоснованность выводов и результатов научного исследования, выбор методов количественной оценки исследуемого явления, корректность выбора средних обобщающих характеристик исследуемых явлений и совокупностей единиц.
При выборе состава группы необходимо учесть сильные стороны каждого участника проекта, а также выбрать способ работы над проектом – совместно над всем заданием или индивидуально над отдельными задачами с последующим совместным обсуждением.
Содержание проекта должно включать следующие пункты:
введение (пишется в последнюю очередь);
группировка федеральных округов по исследуемому признаку;
распределение субъектов Российской Федерации по исследуемому признаку;
расчет среднего значения исследуемого показателя и показателей вариации;
перегруппировка ряда распределения;
расчет структурных средних;
заключение.
Во введении необходимо:
сформулировать тему статистического исследования, например, «Статистический анализ численности пенсионеров в Российской Федерации»»;
сформулировать цель исследования (какие результаты необходимо получить в процессе исследования? – например, анализ численности пенсионеров и ее структуры в РФ на основе построения группировок, рядов распределения и расчета средних);
раскрыть актуальность темы исследования (почему она важна в настоящее время?);
указать предмет исследования (какое явление исследуется? – например, численность пенсионеров);
указать объект исследования (в отношении чего, кого или где исследуется – Российская Федерация как совокупность федеральных округов и субъектов РФ);
задать методологию исследования (перечень методов, приемов и способов сбора исходных данных и их обработки).
При формулировке пунктов основной части задания необходимо четко указывать исследуемую совокупность и анализируемый признак, например, группировка федеральных округов по численности пенсионеров, расчет средней численности пенсионеров в субъектах РФ.
При наличии разных методов расчета показателей или графического представления статистических данных необходимо применить все методы.
По результатам работы и сделанным в ее процессе выводам делается общее заключение (общее творческое самостоятельное размышление по теме исследования, содержащее личное отношение к исследуемой проблеме и сделанным выводам). При написании заключения следует обратиться к официальным статистическим сайтам, отражающим состояние исследуемых проблем в Нижнем Новгороде, Нижегородской области, других субъектах Российской Федерации и в других странах.
Выполнение группового творческого задания закрепит уже приобретенные навыки, сформирует навыки работы в группе, поиска и систематизации информации, необходимой для исследования, группировки информации, построения и графического представления рядов распределения, построения таблиц, применения метода средних величин в финансовых и экономических исследованиях.
3. Учебно-методические материалы к групповому творческому заданию № 2 «Анализ временных рядов (рядов динамики)»
3.1 Задание
Цели:
закрепить навыки совместной работы над проектом в группе, умения распределять задачи между членами группы, умения совместного обсуждения хода работы и коллективной ответственности за результаты работы:
закрепить навыки поиска официальной статистической информации в сети Интернет на примере одного из социально-экономических явлений;
получить практические навыки систематизации исходных данных на основе применения методики построения рядов динамики;
закрепить практические навыки наглядного представления статистического материала путем построения диаграмм и расширить данные навыки путем построения графиков временных рядов;
закрепить практические навыки систематизации исходных данных на основе построения статистических таблиц;
получить практические навыки анализа развития явлений по ряду динамики на основе метода аналитических показателей временного ряда;
получить практические навыки анализа тенденций в развитии явлений на основе расчета средних показателей ряда динамики:
получить практические навыки прогнозирования развития явлений на основе выявления тренда и применения разных статистических методов прогнозирования;
расширить навыки давать обобщающей характеристики явления путем раскрытия содержания исчисленных статистических показателей;
развить умение формулировать проблемы и пути их решения на основе анализа исчисленных показателей и дополнительной статистической информации о состоянии исследуемого вопроса из интернет-источников;
применять знания, умения и навыки в области информационных технологий к поиску, обработке и анализу статистических данных, а также к оформлению готовых проектов.
Исходные данные:
Информация о явлении, рассмотренном в групповом творческом задании №1, за последний известный период времени или на последнюю дату из статистического сборника «Регионы России (последний выпуск)», представленного на официальном сайте Росстата.
Информация о характеристиках исследуемого явления в Нижегородской области, РФ, других странах с сайтов статистических органов и других сайтов (для заключения).
Формулировка задания:
1. Творческая группа сохраняется в том составе, в котором выполнялось групповое творческое задание №1.
2. В качестве предмета исследования выбрать явление, которое анализировалось в групповом творческом задании №1.
3. Сформировать ряд динамики по Приволжскому федеральному округу с пятью уровнями ряда. Дать характеристику ряда.
4. Исчислить аналитические показатели ряда динамики. Сделать выводы.
5. Показать связь цепных и базисных абсолютных изменений уровней ряда и темпов роста.
6. Исчислить средние показатели ряда динамики разными способами. Сделать выводы.
7. Дать графическое изображение ряда динамики.
8. Выполнить прогноз развития явления на ближайшие три года разными методами. Определить абсолютную и относительную ошибку прогноза. Сделать выводы.
9. Дать общее творческое самостоятельное заключение по теме исследования, содержащее личное отношение к исследуемой проблеме и сделанным выводам.
Срок сдачи работы. Через две недели после получения задания.
3.2. Теоретические основы темы «Сущность и виды рядов динамики»
Ряд динамики – последовательность одноименных показателей, расположенных в хронологическом порядке и отражающих развитие изучаемого явления. Анализ рядов позволяет выявить тенденции и закономерности развития финансовых и экономических явлений.
Ряд динамики характеризуется двумя параметрами: уровнем ряда y и показателем времени t. Уровни ряда могут задаваться абсолютными, относительными и средними величинами.
Ряды динамики абсолютных величин наиболее полно представляют развитие процесса или явления, например, налоговых поступлений в бюджеты, добычи топлива; объема ВВП в целом и по виду деятельности; производства продуктов животноводства; грузооборота транспорта; инвестиций в основной капитал.
Ряды динамики относительных величин представлены рядами индексов физического объема ВВП, потребительских цен. Материалы Росстата об основных социально-экономических показателях содержат динамические ряды не только абсолютных величин, но и их темпов роста в процентах к соответствующему периоду предшествующего года и в процентах к предыдущему периоду отчетного года.
Ряды динамики средних величин – это временные ряды начисленной средней заработной платы, средних доходов и расходов на душу населения и т.п.
Показатель времени в ряду динамики представляется датой или периодом (неделя, месяц, квартал, полугодие, год). Ряд, состоящий из последовательности уровней, отражающих фактическое состояние изучаемого явления в конкретный момент времени, называется моментным. Примерами моментных рядов служат последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода (т.е. на начало года, квартала или месяца). На определенный момент времени характеризуются численность работающих, стоимость основных фондов, число предприятий, количество подвижного состава на транспорте, денежные агрегаты, курс валют и ценных бумаг, дефицит (профицит) бюджета, численность безработных, средний возраст населения, активы и пассивы баланса (основной формы финансовой отчетности) в целом и по статьям.
Ряд, в котором уровни показывают результат, накопленный или вновь произведенный за определенный интервал времени, называется интервальным. К интервальным рядам относятся ряды производства продукции, отработанного времени, ВВП, инвестиций, ввода в действие жилых домов, внешнеторгового оборота, оборота розничной торговли, месячной заработной платы, рождаемости, смертности, миграции, производительности труда, фондоотдачи, стоимости «потребительской корзины», прибыли и т.п.
Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за определенные периоды, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т.д. Сумма же уровней моментного ряда не имеет смысла.
По расстоянию между датами или интервалами времени выделяют полные и неполные хронологические ряды. В полных рядах даты или периоды времени указываются через равный интервал. В неполных рядах расстояние между датами или периодами не равны.
По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, то ряд динамики изолированный. В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.
В ряду динамики данные должны быть сопоставимыми по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения (для абсолютных величин), ценам (для стоимостных показателей), методологии расчета (для средних и относительных величин).
Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение уровней, характеризующих определенную совокупность. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен. При изменении масштаба цен необходимо стоимостные показатели пересчитывать в новый масштаб цен. Единство методологии расчета важно для средних и относительных уровней ряда.
|
