Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета вычислительной математики и кибернетики, центром инновационных образовательных технологий Центр «Тюнинг»

Построение модели. Обоснование экстремального принципа Приступим к непосредственному знакомству с нашей моделью. Разберем модель поиска оптимальной стратегии, которая описывает поведение зоопланктона. Пусть - вертикальная координата положения зоопланктона. В зависимости от определяются условия размножения. Эти условия различаются по времени суток. Пусть – коэффициент размножения зоопланктона, находящегося на слое с координатой в момент времени , при отсутствии конкуренции между особями, причем он является периодической функцией с периодом . Коэффициент размножения – это разность между коэффициентом рождаемости и смертности. Коэффициент рождаемости – это количество рождений, приходящихся на одну особь в единицу времени. Коэффициент смертности – это количество смертей, приходящихся на одну особь в единицу времени. Пусть зоопланктон реализует стратегию изменения вертикальной координаты , где меняется периодически с течением времени, является непрерывной, периодической функцией с периодом , причем для того, чтобы было возможно непрерывное периодическое продолжение. Предполагается, что эта стратегия поведения наследственно закреплена, то есть потомки врожденно реализуют ту же стратегию, что и родители. Тогда коэффициент размножения особей реализации этой стратегии имеет вид . Причем он также является периодической функцией. Обозначим – количество особей, которые реализуют стратегию в момент времени . Предполагается, что динамика численности зоопланктона удовлетворяет гипотезам Ферхюльста роста биомассы, где коэффициент лимитирования, возникающий в результате конкуренции, пропорционален общей численности популяции. Предположим, в популяции с момента появляются особи, которые реализуют другую стратегию поведения , где – также непрерывная, периодическая функция времени, допускающая непрерывное, периодическое продолжение. Появление таких особей возможно вследствие мутации, внешних миграций или других причин. Считается, что эта стратегия также наследственно закреплена. То есть, потомки врожденно реализуют ту же стратегию, что и родители. В теории вариационного исчисления, такая функция называется вариантой функцией . Коэффициент размножения особей, реализующих эту стратегию при отсутствии конкуренции, имеет вид , причем он также является периодической функцией. Обозначим - количество особей, которые реализуют стратегию в момент времени . Пусть динамика численностей и удовлетворяет следующей системе уравнений Эта динамика соответствует гипотезам Ферхюльста и является обобщением модели Ферхюльста роста биомассы при условии наличия неоднородных компонент. В момент времени имеют место условия Рассмотрим динамику отношения величины : Отсюда В силу периодичности функций и Если , то Так как и величины ограниченные, то Таким образом, с течением времени особи, реализующие стратегию , постепенно вытесняются из популяции. Через некоторое время после завершения переходных процессов, в стационарном состоянии, популяция не будет содержать особей, реализующих стратегию . Следовательно, стратегия будет устойчивой в популяции по отношению появления других стратегий поведения только, если на ней реализуется максимум величины Отсюда вытекает основной вариационный принцип – устойчивыми, реализующимися в действительности в течении длительного времени, будут только те стратегии, на которых интеграл от коэффициента размножения по периоду принимает максимальное значение. Анализ и обобщение. Анализ модели вертикальных миграций зоопланктона. Решение вариационной задачи Рассмотрим задачу определения оптимального режима суточных колебаний зоопланктона. Пусть x – вертикальная координата положения зоопланктона. В зависимости от x определяются условия размножения. Эти условия различаются по времени суток. Предположим, что коэффициент размножения в зависимости от x имеет вид , где соответствует оптимальному уровню в данное время суток, . Период изменения условий в этом случае равен . Предположим далее, что метаболические затраты пропорциональны квадрату скорости изменения вертикальной координаты; чем выше скорость, тем больше затраты на осуществление колебаний; расход на перемещение вверх или вниз при одинаковой скорости одинаков. Тогда суммарное значение коэффициента размножения имеет вид где α > 0, β > 0, α + β = 1. Обратим внимание, что величина a определяется через свертку двух величин, влияющих на коэффициент размножения. Средний коэффициент размножения за период 2π будет выражаться следующим образом Задача состоит в том, чтобы найти кусочно-гладкую функцию x(t), на которой функционал принимает наибольшее значение. Данная задача эквивалентна задаче максимизации функционала В начальный момент времени координата x(0) может иметь любое значение, но в конечный момент времени координата x(2π) должна совпасть с x(0), иначе функцию x(t) невозможно непрерывно периодически продолжить. Это приводит к равенству Обозначим Тогда функционал (1) принимает вид Сведем задачу максимизации функционала (4) к задачи минимизации функционала Задача минимизации функционала (5) при условиях (2), (3) является частным случаем задачи оптимального управления, решение строится на основе применения принципа максимума Понтрягина. Для ее решения введем сопряженную функцию ψ(t), удовлетворяющую сопряженной системе и краевым условиям , (7) а также функцию Гамильтона . Максимум функции Гамильтона достигается при , с учетом уравнения (3) имеем Дифференцируя уравнение (8) по t и учитывая (6), приходим к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами где Его общее решение имеет вид Из краевых условий (2) и (7) находим значение констант Таким образом, оптимальным решением данной задачи будет Если мало, т.е. метаболические затраты велики по сравнению с выигрышем от смены места положения, то колебания будут незначительными, при их вообще не будет. Если велико, т.е. затраты на изменение положения невелики по сравнению с выигрышем, то колебания будут существенными, в частности, при положение будет всегда совпадать с оптимальным. Для дальнейшего развития модели учтем, что смена условий обитания зоопланктона в зависимости от дня и ночи может осуществляться более резко. Для отражения этого будем рассматривать другую функцию наиболее благоприятного для размножения слоя воды в зависимости от времени. Это можно выразить с помощью функции , где q – целое, нечетное число. Взаимное расположение графиков функций наиболее благоприятного для размножения слоя воды приведено на рисунке 2. Рис. 2. Можно заметить, что увеличение числа q соответствует более резкой смене условий существования зоопланктона при переходе от дня к ночи и наоборот.

Похожие:

	Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Учебно-методическое пособие предназначено для организации активной самостоятельной работы студентов над учебным материалом при изучении...		Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Методы молекулярной диагностики: Учебно-методическое пособие. Авторы: А. Д. Перенков, Д. В. Новиков, С. Г. Фомина, Л. Б. Луковникова,...
	Ннгу, обучающихся по направлению подготовки 080800 «Прикладная информатика... Рекомендовано методической комиссией факультета вычислительной математики и кибернетики для студентов ннгу, обучающихся по направлению...		Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный...
	Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... А-64 Ангелова О. Ю., Дмитриева Е. М. Маркетинг. Рабочая тетрадь.– Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. – 97 с		Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... А-64 Ангелова О. Ю., Дмитриева Е. М. Маркетинг. Рабочая тетрадь.– Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014. – 97 с
	Руководство к решению задач часть II случайные величины учебно-методическое... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией... Учебно-методическое пособие предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 38. 03. 01 «Экономика» в Институте...
	Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными... Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для слушателей подготовительного отделения факультета иностранных...		Учебно-методическое пособие Казань 2010 Печатается по рекомендации... Учебно-методическое пособие по курсу «Организационное поведение» /Д. М. Сафина. – Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет;...
	Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре организации здравоохранения... ...		Метеорология и климатология Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета агробиологии и земельных ресурсов
	Федеральное агентство по образованию сахалинский государственный университет Рассмотрена и рекомендована к утверждению Методической комиссией факультета математики, физики и информатики		Методическое пособие Самара, 2011 Методическое пособие обсуждено... Методическое пособие «Оформление делового письма» для преподавателей средних профессиональных образовательных учреждений
	Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по акушерству... Учебно-методическое пособие представлено кафедрой акушерства и гинекологии сгма в помощь студентам 6 курса лечебного факультета при...		Учебно-методическое пособие для бакалавров учетно-финансового факультета Краснодар Учебно-методическое пособие предназначено для работы в группах студентов 1 курса учетно-финансового факультета