Симплексный метод
Симплексный метод как инструмент, благодаря своей простоте и наглядности, широко используется в решении различных оптимизационных задач. Он детально разработан в разделе высшей математики «математическое программирование» и внедрен в практику вычислительной техники.
Регулярный симплекс в двухмерном пространстве представляет собой равносторонний треугольник. Симплексный метод заключается в следующем. Пусть некоторая непрерывная функция двух переменных u=f(x,y) имеет локальный экстремум в точке М*(х*,у*).
Выбирается произвольная точка М0 области определения функции и строится равносторонний треугольник М0М1М2, – симметричный относительно биссектрисы угла М0 треугольника – первый симплекс (рисунок).
Находятся значения функции u= f(x,y) в точках М0, М1, М2.
При определении локального минимума (максимума) выбирается максимальное (минимальное) из трех значение функции в вершинах симплекса. Пусть это будет точка М0.
Определяется точка М3, симметричная М0 относительно прямой М1М2.Точки М1М2М3 образуют второй симплекс-треугольник.
Строить новые симплексы следует до тех пор, пока очередной треугольник не накроет точку экстремума. Критерием этого является увеличение (уменьшение для максимума) значения функции в точках следующих треугольников. Последовательные симплексы показаны на рисунке 1.
Рисунок 1. Симплексный метод
Опишем, один из способов построения симплекс треугольников. Вершина М0 выбирается произвольно. Координаты точек М1(x1,y1), М2(x2,y2) определяются по формулам (1):
(1)  
Параметры p и q – это отрезки, равные проекциям сторон треугольника на координатные оси. Соотношения (1) обеспечивают равносторонность треугольника. Эти параметры находятся по формулам:
(2)  ; 
Параметр d определяет размер симплекс треугольника. Чем больше параметр, тем меньшее число итераций необходимо проделать для накрытия точки экстремума. Но при этом уменьшается точность решения.
Координаты точки М3 (х3,у3) симметричной М0 находятся по формуле (3):
Симплексный метод обладает простотой и наглядностью, но зачастую не отличается быстротой сходимости и устойчивостью решения – итерационный процесс может не сходиться (образуются циклические кольца из симплекс треугольников, при этом необходимо изменять параметр d) [1].
Чтобы понять как работает симплексный метод решим простой пример.
Пример. Найти минимальное значение функции:
 .
Функция, представляет собой эллиптический параболоид, положительно определена на всей координатной плоскости переменных x и y, и, следовательно, имеет локальный минимум. Точка (0,0) входит в область определения функции.
Решение. Примем точку М0(0,0) за исходную для построения начального симплекса. Пусть параметр d=2.
Используя формулу (2) получим: p=0,518; q=1,932. Далее, по формуле (1), определяем координаты двух других точек первого симплекса: M1(0,518;1,932) и M2(1,932;0,518).
Найдем значения функции u в вершинах исходного симплекс треугольника. Подставив координаты точек в исследуемую функцию, получим u(M0)=5; u(M1) = 0,237; u(M2)=3,066.
Так как наибольшее значение функции достигается в точке M0, то по формуле (3) найдем координаты вершины M3(x3,y3) нового симплекса, симметричную М0 относительно прямой М1М2: М3(2,45;2,45)
Значение функции u в точке M3: u(M3)= 2,303.
Сравнивая значения функции в вершинах треугольника М1М2М3, устанавливаем, что максимальное значение функции имеет вершина М2. Поэтому строим симметричную ей точку М4 относительно прямой М1М3.
По формуле (3) координаты точки М4(1,036;3,864), значение функции u(M4) =3.475.
Полученное значение наибольшее из всех вершин треугольника М1М2М3. Это говорит о том, что точка экстремума находится внутри указанного треугольника. Значение umin примем за минимальное значение функции в точке М1. umin =u (M1)=0,232. Графическая иллюстрация решения примера представлена на рисунке. Получено приближенное значение искомого минимума функции. Для уточнения решения можно построить новый симплекс – треугольник с меньшим значением параметра d и расположенным в области, ограниченной сторонами последнего симплекса. Далее итерационный процесс с возможными дальнейшими уменьшениями параметров очередных симплексов следует продолжить до достижения удовлетворительной точности.
В случае решения оптимизационных задач для функций с большей, чем n=2 размерностью, следует перейти от построения симплексов в виде равносторонних треугольников к симплексам, представляющим собой трехмерные тетраэдры или n-мерные гипертетраэдры.
В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании, так и в других задачах. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и технических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального управления. Экономика и производство развивается быстро там, где широко используются математические методы.
Список использованных источников:
Горлач, Б. А. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. M.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 911 с
АНАЛИЗ КРИВЫХ СПРОСА НА КРЕДИТНЫЕ ПРОДУКТЫ
ПАО «СБЕРБАНК РФ»
Чалык Е.А.
Научный руководитель Гераськин М.И.
Монополистическая конкуренция как «промежуточная» рыночная форма [1] в реалиях современной экономики все более распространена на рынках товаров конечного потребления вследствие диверсификации потребностей покупателей. С учетом тенденций мирового рынка, в российской экономике также изменяется и усложняется характер конкуренции, трансформируясь из модели монополии к условиям монополистической конкуренции, характерными чертами которой является предложения однотипных, но дифференцированных товаров и услуг. Одним из таких рынков в России является рынок кредитования, охватывающий около 800 кредитных организаций, предлагающих один и тот же продукт – кредит, но на различных условиях. В данной работе исследуется динамика потребительского спроса на кредитные продукты в условиях монополистической конкуренции.
Анализ динамики объемов кредитования физических лиц и средневзвешенных процентных ставок по данным Центрального банка РФ за ретроспективный период 1999-2014 гг. (192 отчетных месяца) показал две тенденции, что обусловлено экономическим кризисом 2008 года: с 1999 г. по июль 2008 г. и с августа 2008 г. по конец 2014. Отметим, что для второго периода характерны более высокие процентные ставки и большие объемы кредитования. На основе регрессионного анализа с применением метода наименьших квадратов, реализованной в табличном процессоре Excel, были сформированы степенные линии трендов в соответствующие периоды.
Для периода с 1999 г. по июль 2008 года (рис. 1) функция спроса на кредиты описывается уравнением  . Анализ статистических оценок характеризует модель как статистически адекватную и достоверную, поскольку коэффициент детерминации R2 =0,63, MAPE-оценка 1,17%, критерий Фишера Fфакт = 192,87 значительно превышает табличное значение Fтабл = 3,94.
Для периода с августа 2008 года по конец 2014 года получена модель спроса на кредиты в виде  . Данная модель соответствует послекризисному периоду и обладает следующими характеристиками: коэффициент детерминации – R2 =0,56, оценка ошибки аппроксимации – MAPE = 0,16%, критерий Фишера – Fфакт = 63,1, также превышающий табличное значение Fтабл = 3,96. Полученные оценки позволяют охарактеризовать модель как статистически адекватную.
Уравнения регрессий показывают обратно пропорциональную связь между объемом выданных кредитов банка и процентной ставки: большему объему выданных кредитов соответствует меньшая процентная ставка.
Рисунок 1. Динамика спроса на кредиты физическим лицам в банках РФ в период с 1999-2014 гг.
ПАО «Сбербанк России», являясь крупнейшей банковской организацией и занимая большую долю в кредитной портфеле России, также предоставляет услуги по кредитованию физических лиц. Анализируя ежеквартальные уровни спроса на кредиты со стороны процентных ставок за период с 2009 по 2012 год, была получена следующая модель:  . Оценки коэффициента детерминации R2 = 0,62, оценка ошибки аппроксимации MAPE=0,01%, критерий Фишера Fфакт=16,33, превышающий Fтабл =4,6. Полученное уравнение свидетельствуют об убывающей тенденции спроса с ростом процентной ставки.
Рисунок 2. Динамика спроса на кредиты физическим лицам ПАО «Сбербанк России» в период с 2009-2014 гг.
Таким образом, можно сделать вывод об уменьшении спроса на кредитные продукты в условиях монополистической конкуренции с повышением стоимости заемных ресурсов как в целом по России, так и в частном случае ПАО «Сбербанк России». Кроме того, спрос на кредитные продукты по банковской сфере в целом по России более эластичен, что позволяет получать большие объемы кредитования при снижении процентных ставок. ПАО «Сбербанк России», обладая менее эластичным спросом на кредитные продукты, сравнительно меньшем снижении процентных ставок увеличивает объемы кредитования за счет более привлекательных условий для заемщика.
Список использованных источников:
1. Бродская Т.Г., Видяпин В.И., Добрынин А.И.. Экономическая теория. Учебное пособие. М.: РИОР, 208 с., 2008
2. Годовой отчет ПАО «Сбербанк России» 2008-2014 гг.
3. Статистическая бюллетень Банка России 1999-2014 гг.
Статистический анализ данных абитуриентов бакалавров факультета экономики и управления СГАУ
Шалькова Е.С.
Научный руководитель: Клентак Л.С.
Статья посвящена анализу поступающих абитуриентов СГАУ. Описан процесс динамики количества абитуриентов, среднего балла ЕГЭ по математике, поступления из различных областей РФ и стран ближнего зарубежья, а также из различных районов Самарской области. Предложены варианты решения проблем с целью повышения уровня абитуриентов СГАУ.
Ежегодно заинтересованность в лучшем уровне подготовки студентов ФЭУ является одной из ключевых задач. На направления Факультета экономики и управления СГАУ каждый год поступают порядка 100-130 абитуриентов. Стоит отметить, что количество абитуриентов с каждым годом уменьшается.
Количество абитуриентов каждый год сокращается в связи с рядом факторов:
Увеличением оплаты за обучение;
Отрицательной динамикой среднего балла ЕГЭ по математике;
Сокращением бюджетных мест.
Рисунок 1. Динамика поступления на направления Факультета экономики и управления
Средний балл ЕГЭ по математике является одним из ключевых факторов поступления на направления Факультета экономики и управления. Стоит отметить, что данный фактор напрямую зависит от подготовки будущих абитуриентов в школах. В 2015 году в системе ЕГЭ по математике произошли существенные изменения: экзамен разделен на два уровня - профильный, соответствующий по уровню сложности ЕГЭ 2014 года, и более простой - базовый. Выпускники имели право сдавать как один экзамен, так и оба экзамена. Можно сделать вывод, что именно этот фактор отразился на динамике среднего балла ЕГЭ абитуриентов. Это можно проследить в таблице представленной ниже.
Таблица 1. Показатели среднего балла ЕГЭ по математике за период с 2012 по 2015 год
Курсы
|
Экономика
|
Менеджмент
|
Бизнес информатика
|
2012 год
|
63,28
|
62,71
|
64,91
|
2013 год
|
62,39
|
66,47
|
69,66
|
2014 год
|
51,17
|
46,00
|
74,74
|
2015 год
|
54,38
|
52,55
|
57,58
|
Более наглядно динамику можно отследить на гистограмме (рис. 2).
Наличие абитуриентов не только из Самарской области, но из различных областей РФ, а также из стран ближнего зарубежья является одной из приоритетных задач.
Это способствует расширению географии подготовки абитуриентов, а также повышению рейтинга СГАУ среди других университетов РФ. На 2015 год 62 % абитуриентов составляют жители г. Самара, 24 % - выпускники школ Самарской области и 14 % приходится на абитуриентов из других городов РФ и стран ближнего зарубежья.
Рисунок 2. Динамика среднего балла ЕГЭ по математике абитуриентов ФЭУ.
По сравнению с остальными периодами исследования (2012-2014 гг.) можно отметить, что количество абитуриентов из других областей РФ и других стран остается на уровне 14 %. Для увеличения данного показателя ФЭУ необходимо расширять информатизацию о направлениях подготовки на территории РФ.
Не менее важным среди вопросов статьи является динамика вероятности поступления абитуриентов по городу Самара, которая составляет около 65% от общего количества абитуриентов каждый год.
  
Рисунок 3. Вероятность поступления по РФ и другим странам в 2015 году
В городе насчитывается 160 школ, включая гимназии, лицеи, школы с углубленным изучением отдельных предметов, школы для одаренных детей и другие. Наибольшее количество школ наблюдается в Советском, Промышленном и Кировском районах.
Анализ по каждому району был проведен для выявления уровня подготовки выпускников к экзаменам. Была просчитана вероятность поступления на каждое направление в период с 2012 по 2015 годы.
Рисунок 4. Режим формул в расчете вероятностей по районам, направление экономика
В ходе исследования были выявлены следующие факты:
4 района их 9 имеют стабильность относительно подготовки выпускников.
Ленинский район: на направление экономика – 4 человека каждый год, менеджмент – 2 человека каждый год, бизнес информатика - 3 человека каждый год. Октябрьский и Кировский районы: в среднем по 2 человека на каждое направление ежегодно. Промышленный район: имеет самую положительную динамику, увеличивая количество выпускников на 2-3 человека. Наглядно динамика вероятности по районам представлена ниже (рис. 5).
В 3 районах наблюдается некоторое ухудшение подготовки абитуриентов
Куйбышевский район: имея по 3-4 человека с 2012 по 2014 гг., в 2015 году количество поступивших сократилось до 2 на факультет. Железнодорожный и Советский районы: имея по 2 человека ежегодно, в 2015 году на направления ФЭУ поступило по одному человеку из каждого района.
Из 2 районов – Самарского и Красноглинского в 2015 году не поступило ни одного выпускника.
Рисунок 5. Динамика вероятности поступления по Ленинскому району города Самары
По итогам проделанной работы можно сделать следующие выводы:
СГАУ необходимо увеличить распространение информации о направлениях ФЭУ как на территории Самарской области, так и на территории РФ и стран ближнего зарубежья. Районам, в которых выявлено ухудшение подготовки абитуриентов в связи с ухудшением среднего балла ЕГЭ по математике и количеству абитуриентов, необходимо произвести проверку на выявление причин данного процесса.
Список использованных источников:
1. Клентак Л.С. Элементы теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие / Л.С. Клентак. – Самара: Изд-во Самар. гос.аэрокосм. ун-та, 2013. – 156 с.
2. http://samarastat.gks.ru/
3. http://samobr.ru/
Секция «Менеджмент»
Управление цепями поставок при перевозке широкой номенклатуры грузов ООО «ОАТ Карго»
Беззубова Е.А., Яшкина А.Р.
Научный руководитель Кириллов А.В.
В основу данного исследования положены принципы управления транспортными системами при перевозке широкой номенклатуры грузов ООО "ОАТ Карго". Организация является официальным перевозчиком всех предприятий, входящих в состав группы ОАТ (ОАО "Объединенные Автомобильные Технологии"). В настоящее время группа предприятий ОАО «Объединенные автомобильные технологии» является одной из крупнейших на рынке автокомпонентов по ассортименту и выручке. На заводах, входящих в Группу ОАТ, изготавливается более 4 тысяч наименований деталей, для всех текущих моделей АВТОВАЗа, ГАЗа, УАЗа.
Таблица 1. SWOT Анализ ООО «ОАТ Карго»
Внутренняя среда
|
Сильные стороны
|
Слабые стороны
|
1.Квалифицированный персонал
2.Новый автопарк
3.Налаженные устойчивые связи с заказчиками и поставщиками
4.Высокая стрессоустойчивость сотрудников, способность работать в новых ситуациях
5.Система бюджетного планирования и прогнозирования
|
1.Лизинг
2.Высокие постоянные затраты
3.Зависимость от поставщиков
4.Высокая себестоимость оказываемых услуг
|
Внешняя среда
|
Возможности организации
|
Угрозы организации
|
1.Развивающиеся конкурентные отношения
2.Исследования по изучению новых каналов сбыта
|
1.Зависимость от поставщиков
2.Высокая конкуренция
3.Повышение уровня налоговой нагрузки
|
Ниже представлена таблица с основными потребителями услуг организации и количеством перевозимой продукции.
Таблица 2. Объемы перевозок по всей цепи поставок ООО «ОАТ Карго»
Завод
|
Вид груза
|
Откуда
|
Годовой объем входящий
|
Куда
|
Годовой объем исходящий
|
Тоннаж, тн
|
Тоннаж, тн
|
ДЗС
|
Пластмасса
|
Москва
|
5000
|
Москва
|
2000
|
Пластмасса
|
Энгельс
|
3600
|
|
|
Лампы
|
Рязань
|
48
|
|
|
Пластмасса
|
Тольятти
|
11000
|
Тольятти
|
22000
|
ДААЗ
|
Пластмасса
|
Тольятти
|
3600
|
Тольятти
|
7000
|
Металл
|
Аша
|
6845
|
|
|
ДЗПМ
|
Пластмасса
|
Энгельс
|
5800
|
Тольятти
|
5000
|
Метизы
|
Саратов
|
8900
|
|
|
ДЗР
|
Метизы
|
Саратов
|
22000
|
|
|
РТИ
|
Балаково
|
568
|
|
|
Метизы
|
Краснодар
|
320
|
|
|
ДИЗ
|
Металл
|
Челябинск
|
1890
|
|
|
Метизы
|
Аша
|
1800
|
|
|
Лента стальная
|
Тольятти
|
10000
|
Тольятти
|
7000
|
СМЗ
|
РТИ
|
Димитровград
|
20
|
Сердобск
|
10000
|
Металл
|
Тольятти
|
21450
|
|
|
Автосвет
|
Пластмасса
|
Москва
|
1200
|
|
|
РТИ
|
Балаково
|
870
|
|
|
Пластмасса
|
Тольятти
|
17852
|
Тольятти
|
20000
|
СААЗ
|
Корпусные изделия
|
Димитровград
|
1600
|
|
|
Пластмасса
|
Тольятти
|
10000
|
Тольятти
|
15000
|
|
