Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по геометрии дается

Найдите сторону ВC треугольника ВСD, если известно, что СD=8, В = 30, а D = 45.
Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке М. Найдите основание АD, если АМ = 12, МС = 6, ВС = 8.

ЧАСТЬ 2


B5





Используя данные, указанные на рисунке,

найдите градусную меру DВС.

B6


Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 7.


B7



В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке Е на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если АВ=6.

B8


Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна , а высота равна 8.

Для записи ответов на задания С1 – С3 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем его решение.

Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС. Известно, что ВР=16, РС=9, и . Найдите площадь треугольника АВР.


C1



ЧАСТЬ 3


C2


Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что , а . Найдите гипотенузу треугольника АВС.


C3


Дан параллелограмм АВСD, стороны АВ и ВС которого соответственно равны 2 и . На стороне АD отмечена точка Е – её середина. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ АС перпендикулярна отрезку ВЕ.


Ответы к заданиям демонстрационного варианта по геометрии

Ответы к заданиям с выбором ответа

№ задания	Ответ
А1	3
А2	1
А3	2
А4	4
А5	3

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания	Ответ
В1	4
В2	7
В3	16
В4	16
В5	63
В6	147
В7	36
B8	32

Ответы к заданиям с развернутым ответом

№ задания	Ответ
С1	80
С2	24
С3	6

Инструкция по оценке работ учащихся по геометрии
Первые 5 заданий А1–А5 – с выбором ответа из 4 предложенных вариантов, следующие 8 заданий В1–В8 – с кратким ответом в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби.

Задание с выбором ответа (А1–А5) считается выполненным верно, если указан номер, которым обозначен верный ответ. Задание с кратким ответом (В1–В8) считается выполненным верно, если указано число, которое является верным ответом на данное задание. За верное выполнение заданий с выбором ответа и с кратким ответом выставляется 1 балл.

В работу включены 3 задания с развернутым ответом С1 – С3, при выполнении которых требуется записать полное решение. Эти задания существенно различаются по уровню сложности. Первое задание (С1) – повышенного уровня сложности, остальные два (С2, С3) – высокого уровня сложности. Выполнение этих заданий оценивается экспертами. В зависимости от полноты и правильности ответа за выполнение задания С1 выставляется от 0 до 2 баллов, за выполнение заданий С2, С3 – от 0 до 3 баллов.

Критерии оценки выполнения задания повышенного уровня (С1) отличаются от критериев оценки заданий высокого уровня сложности. Они не требуют от учащихся обоснования приведенного решения. При решении задачи С1 нужно сделать чертеж, явно описывающий заданную конфигурацию, и применить способ решения, процедура которого достаточно отработана и, по-нашему мнению, не нуждается в приведении подробных обоснований. Поэтому критерии оценки выполнения этого задания фиксируют только правильность выделенных шагов решения, но не включают требования к их обоснованию.

Критерии оценки выполнения заданий высокого уровня (С2, С3) требуют от учащихся обоснования приведенных ими решений. Эти задачи проверяют, в том числе, и умения учащихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Самым высоким баллом («3» балла) оценивается полное и правильное решение, в котором есть ссылки на теоретические факты, необходимые для обоснования способов нахождения элементов геометрических фигур, которые указаны в условии задачи. Решение ученика может содержать обоснования и других утверждений. При этом в нем не должно быть неверных утверждений.

Задание считается частично выполненным в том случае, когда его решение оценено в «2» балла. Такая оценка выставляется, если при правильном ходе решения ученик явно описал, но, возможно, частично обосновал взаимное расположение и свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль в решении задачи.

В случае получения верного ответа, но отсутствия обоснований в записи решения ученик может получить лишь «1» балл.

Далее для каждой задачи С1 – С3 приводится один из возможных вариантов решения, который может быть представлен в работах учащихся, и даются рекомендации по оценке ответов учащихся, выбравших приведенный способ решения.

Подчеркнем, что приведенные записи решений не являются эталонами выполнения работы, которым обязаны следовать учащиеся.

ЗАДАНИЕ С1

Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС. Известно, что ВР=16, РС=9, и . Найдите площадь треугольника АВР.
Решение:

1) , следовательно ,

откуда , .

2)
Ответ: 80.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С1
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения: найдены подобные треугольники и составлено соотношение между их сторонами, вычислена сторона АВ; вычислена площадь треугольника. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Все преобразования выполнены верно. Получен верный ответ.
1	Ход решения правильный. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях и преобразованиях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этих ошибок или описок возможен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.

ЗАДАНИЕ С2
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что , а . Найдите гипотенузу треугольника АВС.




Решение:

1. 
   По теореме о центре окружности, вписанной в
   

треугольник, ВО – биссектриса угла В треуголь-

ника АВС. Следовательно АВМ = МВС.
2) Имеем  АВМ = МВС =  ВАС = . По теореме о

сумме острых углов прямоугольного треугольника , .

3) В треугольнике АМВ  ВАМ =  АВМ, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника МВ = АМ = .

4) В прямоугольном треугольнике МВС найдем катет, прилежащий к углу МВС. ВС = =12.

5) ВС – катет, противолежащий углу в 30º прямоугольного треугольника АВС, следовательно АВ = 2·ВС = 24.

Ответ: 24.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С2
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения: установлено положение центра вписанной в треугольник окружности; вычислены острые углы треугольника АВС; установлено, что равнобедренный, и вычислена сторона МВ; вычислены катет и гипотенуза треугольника АВС. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) ВО – биссектриса треугольника АВС; б) равнобедренный. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Верно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно указано (на чертеже или словесно), что ВМ – биссектриса угла В. Допустимо частичное отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в них (например, при определении вида треугольника АМВ возможна замена признака на свойство). Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Допустима одна описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
1	Ход решения правильный, но решение не завершено: имеются шаги 1)-3). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или в преобразованиях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла.

ЗАДАНИЕ С3
Дан параллелограмм АВСD, стороны АВ и ВС которого соответственно равны 2 и . На стороне АD отмечена точка Е – её середина. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ АС перпендикулярна отрезку ВЕ.
Решение:

1) Пусть О – точка пересечения АС и ВD, тогда по

свойству диагоналей параллелограмма О – сере-

дина ВD .

Пусть К – точка пересечения АС и ВЕ, а

точка S – середина отрезка АВ, тогда по свойству медиан треугольника DS проходит через точку К.

2) По условию , по построению КS – медиана треугольника АКВ, проведенная к гипотенузе, следовательно .

3) По свойству точки пересечения медиан треугольника 2:1, следовательно

4) В треугольнике имеем , то есть , тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, , и высота параллелограмма , проведенная к стороне АВ.

5) .
Ответ: 6.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С3
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения: установлено, что К – точка пересечения медиан треугольника ; вычислены длины отрезков и ; установлен вид треугольника ; вычислена площадь параллелограмма. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) К – точка пересечения медиан треугольника ; б) перпендикулярность . Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Верно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимо отсутствие обоснования одного из ключевых моментов решения. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Допустима одна описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
1	Ход решения правильный, но решение не завершено: имеются шаги 1)-3). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения. Использованы верные формулы для нахождения искомых величин. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или в преобразованиях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла.